Объемы и поверхности тел вращения

метки: Архитектура, Вращение, Конус, Площадь, Основание, Плоскость, Высота, Тогда

многогранник математический вращение цилиндр

Пусть даны две параллельные плоскости и ₁ и на плоскости фигура К, ограниченная замкнутой линией l (рис. 1.1, а).

Цилиндром называется тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих фигуру К в одной из плоскостей.

Поясним это. Проведем через произвольную точку XK прямую до пересечения с плоскостью ₁ в точке Х₁ . Когда точка Х при движении описывает фигуру К, тогда отрезки XX₁ параллельных прямых образуют цилиндр. При этом точка Х₁ описывает фигуру К_{1 1} , равную К. Отрезки с одним концом на линии l, ограничивающей фигуру К, называются образующими цилиндра, линия l — направляющей цилиндра, фигуры К и К₁ в плоскостях и ₁ — основаниями цилиндра.

Круговым называется цилиндр, основанием которого является круг, при этом направляющей l является окружность (рис. 1.1, б).

Рис. 1.1

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны к плоскостям оснований. В дальнейшем будем рассматривать только прямой круговой цилиндр, и называть его просто цилиндром (рис. 1.2).

Радиусом цилиндра является радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

Прямой круговой цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника ABCD вокруг оси, содержащей его сторону ВС (рис. 1.3).

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым.

Рис. 1.2 Рис. 1.3 Рис. 1.4

Задача 1.1.

Решение. АА₁ В₁ В — осевое сечение (рис. 1.4).

Образующая АА₁ перпендикулярна к плоскости основания, поэтому АА₁ А₁ С₁ и АА₁ А₁ В₁ . Следовательно, С₁ А₁ В₁ — линейный угол двугранного угла АА₁ и С₁ А₁ В₁ =. Из прямоугольного треугольника АА₁ С находим АС= A₁ Ccos = dcos. Треугольник А₁ С₁ В₁ — прямоугольный, А₁ С₁ В₁ =90^o .

Тогда или . Площадь основания S == , образующая АА ₁ = A₁ Csin= dsin.

Нравственная культура врача как основание медицинского профессионализма

... бесспорным было суждение о том, что нравственная культура врача – это не просто заслуживающее уважение свойство ... задача наполнения конкретным содержательным смыслом понятия профессиональной добродетели врача. В Святом Евангелии Господь проповедует о ... эвтаназии, генетической диагностики или медицинского прогнозирования как основания показаний для искусственного прерывания беременности, применения ...

1.2 Конус

Круговым конусом называется тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку — вершину конуса — с точками круга — основания конуса.

Пусть — плоскость, К — круг в плоскости с центром О и точка S (рис. 1.5).

Соединим каждую точку Х круга К с точкой S отрезком XS. Все отрезки XS образуют круговой конус.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая его вершину с центром основания, перпендикулярна к плоскости основания. Будем рассматривать только прямой круговой конус, и называть его просто конусом.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие конуса равны.

Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника AOS вокруг оси, содержащей его катет SO (рис. 1.6).

Высотой конуса называется перпендикуляр, проведенный из его вершины на плоскость основания. Ось конуса — прямая, содержащая его высоту. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым. Часть конуса, заключенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченным конусом. На рис. 1.7 изображен усеченный конус, OO ₁ — высота, АВ — образующая.

Рис. 1.5 Рис. 1.6

Рис. 1.7 Рис. 1.8

Задача 1.2.

Решение. Сечение конуса — ASB (рис. 1.8).

Проведем SKAB, тогда, согласно теореме о трех перпендикулярах, OKAB. Угол SKO — линейный угол двугранного угла AB, S_ASB = ЅAB*SK. Из АSО находим AS= , SO=AO=3 см. Из SKO SK=.

По теореме Пифагора из SKO: AК = (см).

Окончательно имеем S _ASB = .

1.3 Шар

Понятие шара и свойства его сечений

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от некоторой фиксированной точки. Данные точка и расстояние называются соответственно центром и радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Значит, сфера состоит из всех тех точек шара, которые удалены от центра шара на расстояние, равное радиусу. На рис. 1.9 О — центр сферы (шара), отрезок ОМ (М — произвольная точка сферы) — радиус сферы (шара): ОМ=R. Отрезок AB, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы (шара).

Значит, AB=2R.

Шар можно получить при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. При этом полуокружность описывает шаровую поверхность или сферу.

Теорема 1.1, Доказательство.

Рис. 1.9 Рис. 1.10 Рис. 1.11

Круг в сечении шара плоскостью будет тем больше, чем ближе плоскость к центру шара, т.е. чем меньше расстояние ОА (рис. 1.10).

Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом, а сечение сферы — большой окружностью. Очевидно, что радиус большого круга равен радиусу шара.

Теорема 1.2., Доказательство.

Построим точку Y, симметричную точке Х относительно центра шара. Тогда ОY = ОХ R. Это значит, что точка Y принадлежит шару. Итак, центр О шаpa является центром его симметрии.

По картине Пабло Пикассо «Девочка на шаре»

... представляют собой напряженную силу, которая вплелась в замкнутый контур.Картина «Девочка на шаре» является мостиком, по которому Пабло Пикассо перешел от своего знаменитого «голубого периода» к розовому. Художник ... и веселье ремесла цирковых артистов. На картине противоположное буквально все. Настроения девочки и атлета, их занятия в текущий момент – девочка качается на шаре, атлет, в свою очередь, ...

Части шара и шаровой поверхности

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-либо плоскостью (рис. 1.16).

Круг радиусом О ₁ С в сечении шара называется основанием, отрезок О₁ А радиуса шара, перпендикулярного к плоскости сечения, — высотой шарового сегмента.

Сегментной поверхностью (сферическим сегментом) называется часть шаровой поверхности, отсекаемая от нее плоскостью. На рис. 1.16 О ₁ С — радиус окружности основания сегментной поверхности, О₁ А — высота сегментной поверхности.

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис. 1.17).

Круги радиусов О ₁ С и О₂ А в сечении шара называются основаниями шарового слоя, отрезок 0₁ 0₂ — высотой.

Шаровым поясом называется часть шаровой поверхности, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. На рис. 1.17 отрезки О ₁ С и О₂ А — радиусы окружностей оснований шарового пояса, O₁ O₂ — высота.

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом:

• если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, основанием которого является основание сегмента, а вершина находится в центре шара (рис. 1.18);

• если же сегмент больше полушара, то указанный конус «удаляется» (рис. 1.19).

За высоту шарового сектора принимают высоту части его сферической поверхности.

Задача 1.5.

Решение. Отрезок О₁ А — высота шарового сектора (рис. 1.20).

Рассмотрим осевое сечение шарового сектора: AOC = , О₁ А = ОА — 00₁ . Из ОО₁ С имеем: ОО₁ =OС cos = r cos . Тогда О₁ А= r — r cos = r (1 — cos ) == 2r sin² (/2).

Рис. 1.16 Рис. 1.17 Рис. 1.18

Рис. 1.19 Рис. 1.20

2. Объемы тел

2.1 Объемы многогранников

Объем цилиндра (прямого)

Теорема 11.4. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

V =S _осн Н,

где S — площадь основания цилиндра; Н — высота.

Доказательство.

где ₁ , ₂ — сколь угодно малые величины, стремящиеся к нулю при увеличении числа сторон n так, чтобы длины сторон n — угольника стремились к нулю.

Имеем: (S _осн —₁ ) H<V<(S_осн —₂ ) H;

S _осн H-₁ H<V<S_осн +₂ H

При n lim ₁ Н =0 и lim ₁ Н =О.

Отсюда следует, что объем цилиндра V = S _осн Н.

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Следствие., Задача 11.5.

Решение. Пусть АВСО — сечение, площадь которого S, ОК АВ, ОК = d, АОВ = , следовательно, КОА = /2. Из ОАК OA= , АВ = 2АК = 2d tg (/2).

Определение площади питомника расчет посевного и школьного отделения питомника

... отделении питомника Саженцы древесных и кустарниковых пород, выращиваемые в школьном отделении питомника, используют для озеленения городов и населённых мест, создания лесных культур и защитных ... валежника и отдельно стоящих деревьев и кустарников. Затем вычесывают корни и осуществляют планировку поверхности. Для расчистки площадей используют корчевальные машины, кусторезы и сучкоподборщики. ...

2.1 Объемы тел с известными площадями поперечных сечений

Формула объема тела с известными площадями поперечных сечений. Объем тела вращения

Используя формулу вычисления объема прямого цилиндра, получим формулу объема произвольного тела, для которого известны площади сечений, перпендикулярных некоторой прямой l.

Пусть даны ограниченное тело Ф и ось x (рис. 2.11).

Зная абсциссу x, можно вычислить площадь S = S (x) — сечения тела Ф плоскостью, перпендикулярной к оси x и проходящей через точку с абсциссой x, т.е. площадь сечения является функцией от x. Пусть x=a и x=b — абсциссы крайних сечений тела.

Рис. 2.11

Теорема 2.5., Доказательство.

Для этого разделим отрезок [а, b] точками х ₀ =а, х₁ , х₂ ,…, х_n-1 , х_n = Ь(х₀ < х₁ < х₂ <… < х_n ) на п произвольных отрезков.

Обозначим длины этих отрезков:

Через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные к оси х, которые разобьют данное тело на элементарные тела объемами V ₁ , V₂ ,…, V_n .

Внутри каждого элементарного отрезка [x _k-1 , x_k ] выберем произвольную точку _k так, что х_{k-1 k} < х_k .

Через точки _k проведем плоскости, перпендикулярные к оси х, площадь сечения которых с телом Ф будет равна S_k = S(_k ).

Объем V _k каждого элементарного тела заменим объемом прямого цилиндра с площадью основания S(_k ) и высотой x_k . Объем каждого такого цилиндра равен S(_k ) x_k . Сумма объемов всех цилиндров

Объем V является приближенным значением объема V данного тела. Сумму V _n называют интегральной. Количество точек х_n разбиения отрезка [а, b] будем неограниченно увеличивать (n) так, чтобы длина каждого отрезка х_k . стремилась к нулю (х_k ).

Объем V определяет предел, к которому стремится последовательность сумм V _n объемов цилиндров при условии, что max х_k :

Если S(х) — непрерывная функция на отрезке [а, b], то этот предел существует, не зависит от точек разбиения х _n и от выбора точки L на каждом элементарном отрезке и равен определенному интегралу от функции S (х) на отрезке [а, b]:

Следствие., Доказательство.

Через точку х проведем плоскость, перпендикулярную к оси х. Она пересечет тело по кругу с центром N на оси х и радиусом NF =f(х), поэтому площадь этого сечения

тогда

Рис. 2.12

Объем конуса, Теорема 2.8

где S _осн — площадь основания конуса; Н — высота; R — радиус основания.

Доказательство.

Рис. 2.16

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямой ОА вокруг оси х. Уравнение ОА имеет вид y=kx=Rx/H. Тогда объем конуса вычисляется по формуле

Теорема 2.9.

где Н — высота усеченного конуса; R ₁ , R₂ — радиусы оснований конуса; S₁ , S₂ — площади оснований конуса.

Диплом. выполнение улучшенного оштукатуривания поверхности вручную

... слой штукатурки, который должен заполнить все неровности поверхности. Соблюдая основы технологии штукатурных работ, на данном этапе на обрабатываемую поверхность наносится ... и разные полимерные добавки. Одна из разновидностей декоративных штукатурок - штукатурка стен с применением растворённых в ... каждому мастеру, а только тем, кто имеет достаточный опыт штукатурных работ. По правилам оштукатуривания ...

Рис. 2.17

Задача 2.7.

Решение. Треугольник АВС — равносторонний AB = ВС = СВ =a AD ВС, l — ось вращения. Пусть АD = h, тогда DK = h /2. Найдем объем, полученный при вращении АВС вокруг l (рис. 2.17).

Объем V = 2V_ABD = 2 (V₂ -V₁ ), где V — объем усеченного конуса; V — объем цилиндра, полученный при вращении, соответственно, трапеции ABNK и прямоугольника BNKD вокруг l.

Объем шара и его частей

Теорема 2.10. Объем шара V= 4/3 R ³ , где R — радиус шара;

Обьем шарового сегмента V= H ² (R-H/3), где Н — высота сегмента; R — радиус шара.

Рис. 2.18

Доказательство.

Шар мы получим, если будем вращать вокруг оси х криволинейную трапецию, ограниченную осью х и верхней полуокружностью, уравнение которой

Вычислим объем шара:

Вычислим объем шарового сегмента высотой Н = DC, OD = R — Н, R — Н х R. Воспользовавшись формулой для вычисления объема тела вращения, получим (рис. 2.18)

Замечание., Задача 2.8.

Рис. 2.19

Решение. Дано KB = R₂ , DС = R₁ , OD = R. Из рис. 2.19 видно, что

Н ₁ = ОС =

Выбрав за ось x прямую OA (O — начало координат), по формуле (2.1) вычислим объем шарового слоя.

Уравнение полуокружности AKD имеет вид , при этом Тогда объем шарового слоя

3. Площади поверхности тел

3.1 Площадь поверхности тел вращения

Площадь поверхности кругового цилиндра

Различают площадь боковой S _бок цилиндра и площадь S поверхности цилиндра.

Площадью поверхности цилиндра называют сумму площадей боковой поверхности и площадей оснований цилиндра.

Теорема 3.5.

где К — радиус основания, Н — высота цилиндра.

Доказательство.

Тело F _h , о котором говорится в определении, заключено между цилиндрическими поверхностями, радиусы которых R+h, R-h (h>0), и двумя плоскостями, перпендикулярными к оси цилиндра и отстоящими на расстоянии Н + 2h (рис. 3.6).

Поэтому

С другой стороны, тело F _h , полностью содержит в себе тело, заключенное между цилиндрическими поверхностями, радиусы которых R + h и R — h, и двумя плоскостями оснований, расстояние между которыми Н, поэтому V_h > V₄ — V₃ = (R+h)² H-(R-h)² H=4RhH

Имеем: 4RhH < V _h . < 4Rh (Н + 2h).

Разделив неравенства на 2h, получим 2Rh < V_h /2h=2R (H+2h).

При h0 H+2hH и правая и левая части неравенства стремятся к 2RH, поэтому

Задача 3.4.

Рис. 3.6 Рис. 3.7

Решение. Площадь поверхности S подвала складывается из площади S_п пола (прямоугольник), площади S_б боковой поверхности полуцилиндра и площади S_к двух полукругов:

Задача 3.5.

Решение. Сторона квадрата а, радиус основания цилиндра r. Имеем:

Покровский собор что на рву (храм Василия Блаженного) на Красной ...

... над могилой известного в Москве юродивого – Василия Блаженного. По имени этой церкви собор получил свое второе наименование. Небольшой объем храма Василия Блаженного, перекрытый крестчатым сводом, прежде венчала горка ... – башня Покровской церкви (высота от пола 46 м.) – имеет внутреннюю площадь 64 кв. м. Переходы, связывающие столпы, выполняют роль своеобразной внутренней паперти, главным ...

Площадь поверхности конуса

Различают площадь боковой S _бок поверхности и площадь S поверхности конуса.

Площадью поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности конуса и основания: S = S _бок + S_осн

Теорема 3.6.

где R-радиус основания конуса, l — длина образующей.

Задача 3.6.

Рис. 3.8

Решение. Дополним усеченный конус до полного (рис. 3.8).

Пусть О₁ B = R₁ , О₂ B₂ =R₂ , В₁ В₂ =l. Обозначим SB₁ =l₁ , SB₂ =l₂ . Тогда боковая поверхность усеченного конуса S=S_2бок -S_1бок =R₂ l₂ — R₁ l₁ , а l₁ = l₂ — l. Так как O₁ S₁ B₁ O₂ SB₂ , то

Подставим полученное значение в формул у площади:

Задача 3.7.

Решение. Из условия следует, что высота конической крыши Н = 2 м, радиус основания конуса R = 3 м, следовательно, образующая l = м.

Площадь боковой поверхности конуса, или площадь крыши силосной башни, определяем по формуле S _бок =Rl=3133,14*3*3,633,9м² .

Найдем, какую площадь займут обрезки и материалы на швы: S _обр =33,9*10%=3,9*0,1 = 3,39 м² .

Полная площадь S = S _бок + S_обр = 33,9 м² + 3,39 м² 37,3 м² .

Площадь листа железа равна 0,7*1,4 = 0,98 м ² . Всего потребуется 37,3:0,98 38 листов железа.

Площадь поверхности шара и его частей, Теорема 3.7., Доказательство.

Объем его равен разности объемов шаров этих радиусов:

Тогда

Рис. 3.9

Теорема 3.8., Доказательство.

Тело F _h заключено между поверхностями двух сегментов, высоты которых Н + 2h и Н, шаровых поверхностей радиусами соответственно R + h и R — h. Объем тела меньше разности объемов этих сегментов:

С другой стороны, тело F _h содержит в себе тело, заключенное между сегментами шаровых поверхностей, высоты которых H + h и H — h и радиусы R + h и R — h соответственно, поэтому его объем будет больше разности объемов этих сегментов:

Имеем:

Разделив неравенства на 2h, получим

При h0 левая и правая части неравенства будут стремиться к 2RH, поэтому площадь сегмента

Рис. 3.10 Рис. 3.11

Теорема 3.9., Доказательство.

S=S _{сег. CA} -S_{сег .BA} =2R*CA-2R*BA=2R (CA-BA)=2R*BC=2RH.

Доказательство проведено для случая, когда шаровой слой расположен по одну сторону от центра шара. Для других положений пояса доказательства проводятся аналогично.

Задача 3.8.

Решение. Пусть R_м — радиус Марса, R_з — радиус Земли, R_ю — радиус Юпитера.

По условию R _з = 2R_м , R_ю = 11*R_з = 11*2R_м =22R_м .

Доказательство и убедительность речи. Основные законы логики ...

... не просто о законах логики, а о законах и правилах логики. 7 Следует иметь в виду, что логика выступления является лишь ... является заведомо ложным, но оно само нуждается в доказательстве, которое должно показать его истинность. Следует опасаться ошибки, получившей ... т.д. Большое влияние оказывают красноречие выступающего, пафос его речи, уверенность в голосе, внушительная внешность и т.д. Другими ...

Выразим площади поверхностей через радиус Марса:

т.е. площади поверхностей сфер относятся как квадраты радиусов.

Литература

[Электронный ресурс]//URL: https://litfac.ru/referat/tela-vrascheniya-v-arhitekture/

Геометрия для подготовительных отделений вузов: Справ. Пособие/ А.И. Герасимович, Г.Т. Пушкина — Варварчук, З.П. Шарикова, В.К. Цыганова. — Мн.: Выш.шк.

Абрамович М.И., Стародубцев М.Т. — Математика, геометрия и тригонометрические функции. — М.:Высш.шк., 1976.

Сборник задач по математике/ Под ред. М.И. Сканави. — М.: Высш.шк., 1980.

Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 6-10 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1982.