Вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков. Вектор
изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все
семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих
отрезков).
Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные
латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские
буквы с черточкой сверху. Той же буквой, но не жирной, а светлой обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину) числа.
Таким образом, длина вектора а обозначается через а или IаI, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или IаI. В связи с изображением векторов в виде отрезков следует помнить, что концы отрезка,
изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому.
Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор).
Весьма часто понятию вектора дается другое определение: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление, уславливаются считать равными.
Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые
одинаково направлены.
Иногда, вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество).
Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).
Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и
Многогранники в архитектуре
... 4. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки ... из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра ...
Говорят, что скользящие векторы и равны, если
- точки A ,B ,C ,D располагаются на одной прямой,
- векторы и равны между собой как свободные векторы.
Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.
Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в
Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки A и C , B и D . Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности . Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» и т. д.).
Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.
Вектор, представленный набором n элементов (компонент) допустимо обозначить следующим способами:
Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс: .
Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например: , причём число при этом обычно пишут слева.
Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака. Длина (модуль) вектора — скаляр, равный арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат (компонент) вектора. Обозначается или просто a .
Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым: Вектор называют противоположным
1.2. Линейные операции над векторами
Суммой двух векторов и называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правильно треугольника).
Построение суммы изображено на рис. 1.
рис. 1
Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы и приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала и (рис. 2).
Отсюда сразу следует, что .
рис.2
Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов , , , ).
Символические функции цифр и чисел в восточных культурах
... Финикии, Халдеи, Вавилона, Египта, Китая. Встречается упоминание о цифрах и числах в Ведах и Упанишадах. Русская нумерология Отличается от всех остальных нумерологических ... этого все имена превращаются в числа, используя существующие соответствия между числами и буквами русского алфавита. Нумерологические представления в культуре В разных культурах традиция требовала «подгонки» наблюдаемого ...
рис.3
Разность двух векторов и называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор . Если два вектора и приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца («вычитаемого») к концу («уменьшаемого»).
Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом . Легко видеть, что . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».
Произведение (или также ) вектора на число называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа ; он параллелен вектору или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор , если — число положительное, и противоположно вектору , если — число отрицательное.
Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами., Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1. + = + — коммутативность;
2. + ( + ) = ( + ) + — ассоциативность (по сложению);
3. + = ;
4. 1 × = ;
5. + (- ) = — = + (-1) = ;
6. α (β ) = (αβ ) — ассоциативность (по отношению к числам);
7. (α + β ) = α + β — дистрибутивность (по отношению к умножению на вектор);
8. α ( + ) = α + α — дистрибутивность (по отношению к умножению на число), α , β — числа.
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители. Свойства векторов незаменимы при сложении, вычитании векторов, при умножении векторов и умножении вектора на число, при упрощении выражений, при нахождении скалярного и векторного произведений векторов и много другого.
